Типы уравнений
Содержание:
- С разделяющимися переменными
- Однородные
- Линейные
- Бернулли
- Риккати
- В полных дифференциалах
- Не разрешенные относительно производной
С разделяющимися переменными
-
$y’ = \frac{dy}{dx}$
$\frac{dy}{dx} = f(x) g(y)$
-
Поделим на $g(y)$, полагая $d(y) \neq 0$:
$\frac{dy}{g(y)} = f(x) dx$
-
Навесим интеграли на обе части:
$\int{\frac{dy}{g(y)}} = \int{f(x)dx} + C$
-
Получаем функцию $y=y(x)$
-
И отдельно рассматриваем случай $g(y)=0$
-
Составляем из (4) и (5) ответ
Однородные
-
Замена: y = ux
-
Получаем ДУ с разделяющимися переменными:
$x \frac{du}{dx} = Ф(u) - u$
-
Отдельно рассматриваем случай $Ф(\frac{y}{x}) - \frac{y}{x} = 0$
-
Составляем из решений (2) и (3) ответ
ОДУ вида $M(x, y) dx + N(x, y) dy = 0$ однородное, если $M$ и $N$ ф-ии одного и того же измерения. Решается так же.
Линейные
Линейные однородные
Решается как ДУ с разделяемыми переменными
Линейные неоднородные
Решается методом вариации произвольной постоянной (методом Лагранжа):
-
Решаем однородное уравнение $\frac{dy}{dx} + a(x) y = 0$
$y = C y(x)$
-
Считая $C$ функцией от $x$, подставляем в исходное уравнение:
$\frac{dC}{dx}y(x) + C y’(x) + a(x) C y(x) = b(x)$
-
Выражаем $C=С(x)$ через $C_1$и подставляем в $y = C y(x)$:
Ответ: $y = C_1 y(x)$
Бернулли
-
При $n=1, n=0$ решаем как линейное ДУ
Иначе, поделим обе части на $y^n$, полагая $y \neq 0$:
$\frac{y’}{y^n} + \frac{a(x)}{y^{n-1}} = b(x)$
-
Замена: $z = y^{1-n}$
-
Получим линейное ДУ:
$\frac{z’}{1-n} + a(x) z = b(x)$
Риккати
-
Если $P(x) \equiv 0$, то решается как линейное неоднородное
-
Если $R(x) \equiv 0$, то решается как ур-ие Бернулли с $n = 2$
-
В общем случае, ур-ие Риккати не интегрируется в квадратурах
-
Если известно частное решение, то интегрирование возможно:
-
Пусть $y = y_1(x)$ - частное решение
Введем ф-ию $z$ по формуле $y = z + y_1$
Подставляем в ур-ие:
Решаем как ур-ие Бернулли с $n = 2$
В полных дифференциалах
является ур-ием в полных дифференциалах, если $\exists F(x, y):$
$dF(x, y) = M(x, y) dx + N (x, y) dy \ \ \ (1)$
Условие эквиваленто выражению $\large \frac{\partial M}{\partial y} \equiv \frac{\partial N}{\partial x} \ \ \ (2)$
-
Проверяем, что условие (2) выполняется
-
Тогда, $M(x, y)dx + N(x, y)dy \equiv F’_x dx +F_y dy$
из $M(x, y) = F’_x dx$ находим $F(x, y) = \int M(x,y) dx$
-
Берем прозводную по $y$ и подставляем: $F’_y = N(x,y)$
Полученная ф-ия $F(x, y)$, неявно задающая $(x, y)$, является ответом
Не разрешенные относительно производной
-
Замена $y’ = p$:
$F(x, y, p) = 0$
-
Выражаем $y$:
$y = f(x, p)$
-
Находим полный дифференциал
$dy = \frac{\partial f}{\partial x}dx + \frac{\partial f}{\partial p} dp = pdx$
$(\frac{\partial f}{\partial x} - p) dx + \frac{\partial f}{\partial p} dp = 0$
$M(x, p) dx + N(x, p) dp = 0$
-
Решить как ДУ в полных дифференциалах
Находим $x = x(p)$
-
…